La geometria dei fiocchi di neve                                                                                            Teoria BENOIT B. MANDELBROT, docente di matematica alla Harvard University, pubblica nel 1982 il saggio frutto di una ricerca su una parte della matematica che lui chiama geometria dei frattali. (Mandelbrot "Gli oggetti frattali" ed. Einaudi) Questa geometria si occupa di oggetti molto diversi da quelli dalla geometria elementare che conosciamo. Attività dei ragazzi I NOSTRI ESEMPI DI OGGETTI FRATTALI Sono forme frattali: il profilo di una costa, di un'isola, di una montagna, un vulcano la forma delle galassie, un fiocco di neve, una nuvola, un contorno di una foglia, una goccia d'acqua la struttura di un polmone, le forme dei pianeti, la forma di un neurone, un fulmine nel cielo. Per creare un oggetto frattale la matematica usa un procedimento ricorsivo che crea un modello del caos. UN OGGETTO FRATTALE è un oggetto geometrico di forma insolita, ma abbastanza familiare nella realtà: esso rappresenta le forme della natura che possiamo trovare sulla terra, negli oceani o nel cielo. La prima caratteristica comune di queste famiglie di oggetti è proprio la "forma" frattale, dal latino fractus che significa "interrotto" o "irregolare". La geometria dei frattali è capace di rappresentare quasi tutte le forme della natura, e perfino il disordine delle turbolenze atmosferiche. LE CARATTERISTICHE DEGLI OGGETTI DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE: facili da disegnare, si misurano con strumenti convenzionali, hanno regole facili e ben precise, sono forme molto, regolari LE CARATTERISTICHE DEGLI OGGETTI FRATTALI: difficili da disegnare e da misurare, hanno regole difficili, in natura ci sono molte forme irregolari che assomigliano a questi oggetti. LE SCIENZE CHE LI USANO: astronomia, geografia geologia, geomorfologia, biologia, fisica meteorologia, oceanografia. LE CARATTERISTICHE principali di un frattale sono tre. FORMA: estremamente irregolare. CASO: per generare l'irregolarità frattale occorre considerare costruzioni dominate dal caso, la cui evoluzione genera la dinamicità dei sistemi frattali.. DIMENSIONE: si indica con D e misura il grado di irregolarità e interruzione. A differenza delle dimensioni abituali, la dimensione frattale può essere una frazione o anche un numero irrazionale (log o pi greco). La dimensione di certe curve piane molto irregolari può essere un numero compreso fra 1 e 2 e quella di certe superfici con una grande densità di fogli e piene di convoluzioni può stare fra 2 e 3. L'insieme di Maldelbrot è uno dei frattali più complessi che si conoscano FORMULA DI  D Nel caso di un sistema frattale dove è possibile stabilire due grandezze variabili che sono: N = numero delle parti ottenute. S = rapporto di similitudine La dimensione frattale D è data dalla formula: D = log N / log S LA DIMENSIONE di un oggetto non è sempre la stessa, ma può assumere una successione di valori diversi. Questo dipende dal fatto che la dimensione fisica ha una base soggettiva e dipende dal grado di risoluzione, cioè dall'ingrandimento con il quale si guarda l'oggetto. La dimensione della figura saltella così dall'aspetto tridimensionale all'aspetto unidimensionale e poi nuovo all'aspetto tridimensionale e così via, all'infinito, man mano che se ne varia li suo ingrandimento.. DUE NOZIONI INTUITIVE: OMOTETIA INTERNA E CASCATA. Se si prende in considerazione la carta geografica di una baia o una penisola, con scale diverse, sempre più ingrandite, ( 1:5.000.000, 1:1.250.000, 1:800.000 …), si può scoprire che i diversi livelli di analisi presentano particolari differenti, ma con gli stessi tratti generici. Questo meccanismo che viene detto a cascata, perché ogni stadio genera dettagli più piccoli di quello che lo ha preceduto, mette in evidenza, osservando i vari pezzi di costa, come ogni piccola parte è un'immagine ridotta dell' intera costa. Questa proprietà invariante di un qualunque oggetto frattale è detta omotetia interna. QUANTO E' LUNGA LA COSTA DELLA SARDEGNA? Il "caso" sembrerebbe l'unico modello matematico a disposizione di chi cerca di cogliere e rappresentare l'andamento di una costa che si è modellata nel corso degli anni e quindi la sua forma potrebbe sembrare a prima vista ignota e incontrollabile. Il caso, unito al calcolo delle probabilità, diventa uno strumento potente per il calcolatore nell'ipotizzare un gran numero di configurazioni casuali possibili: è come il lancio di un "dado" programmato dal calcolatore. Se poi la voglio misurare il problema che si presenta è di ordine pratico: è evidente che tale lunghezza è almeno uguale alla distanza in linea retta tra le estremità del tratto di curva; se la costa fosse diritta, il problema sarebbe già risolto. Ma una vera costa selvaggia è estremamente sinuosa e, di conseguenza, più lunga della distanza in linea retta. Se ne può tener conto in varie maniere ma, in ogni caso, la lunghezza finale risulterà talmente grande da potersi considerare infinita. Il ragionamento è il seguente: si può immaginare che un uomo cammini lungo la costa, seguendola il più possibile; successivamente si rimpiazza il nostro uomo con un topo, poi con una mosca, e così via. Più vicino ci si tiene alla costa, più lunga sarà inevitabilmente la distanza percorsa, perché cambia la lunghezza del passo. Continuando a rimpicciolire all'infinito tale lunghezza, si capisce come la lunghezza totale risulta aumentare all'infinito.    LA RICORSIONE C'era una volta un re, seduto sul sofà, che disse alla sua serva: - raccontami una storia -. La serva incominciò: "C'era una volta un re seduto sul sofà, che disse alla sua serva: - raccontami una storia -. La serva incominciò: "C'era una volta un re…… LA GRAFICA COMPUTERIZZATA L'uso di programmi per la costruzione di frattali permette di agevolare i procedimenti di ricorsione che con riga e matita risulterebbero estremamente lunghi e faticosi e da un certo punto in poi impossibili. Il legame fra i frattali e il computer è fortissimo. Il computer è indispensabile nella costruzione dei frattali proprio per riuscire a ripetere le operazioni molte volte in maniera precisa e veloce. I programmi utilizzati per realizzare frattali contengono sempre un comando di loop, ovvero un comando che ripete le operazioni di base che sono: suddivisioni, sostituzioni, ingrandimenti, rotazioni ecc ecc. Il programma utilizzato è un prodotto gratuito che si può scaricare da internet che si chiama Fractint